Лекция

Введение: задачи курса электричества и магнетизма

Электромагнитное взаимодействие — одно из четырёх фундаментальных взаимодействий в природе; практически все силы, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни (упругость, трение, химическая связь, межмолекулярное притяжение), на самом деле имеют электромагнитную природу. Сила, связывающая ядро атома и электроны, а также молния, радиоволны и свет — всё это проявления того же взаимодействия. Курс электричества и магнетизма изучает электрические заряды, создаваемые ими электрические и магнитные поля, электрический ток, а также взаимодействие этих полей с веществом.

Источники науки — эксперимент и теория. Древние греки знали, что натёртый янтарь (по-гречески электрон) притягивает лёгкие тела. В XVIII веке Ш. Кулон установил закон взаимодействия зарядов, в XIX веке М. Фарадей ввёл понятие поля, а Дж. Максвелл объединил все электромагнитные явления в единую систему уравнений. На этом фундаменте построены современная электротехника, электроника, связь и энергетика. Курс начинается с электростатики — покоящихся зарядов и их поля.

Электрический заряд и его свойства

Электрический заряд $q$ — скалярная физическая величина, характеризующая способность частиц и тел вступать в электромагнитное взаимодействие. Единица в СИ — кулон (Кл): заряд, проходящий через сечение проводника за 1 с при силе тока 1 А, $1\ \text{Кл} = 1\ \text{А}\cdot\text{с}$.

• Существуют два вида зарядов: положительные и отрицательные. Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются. Электрон имеет отрицательный, протон — положительный заряд.
• Дискретность (квантование): заряд любого тела кратен элементарному: $q = \pm Ne$, где $e = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{Кл}$, $N$ — целое число. Это доказал Р. Милликен в опытах с каплями масла.
• Закон сохранения: алгебраическая сумма зарядов электрически замкнутой (изолированной) системы не изменяется: $\sum q_i = \text{const}$. При электризации заряд не возникает из ничего, а лишь перераспределяется между телами.
• Релятивистская инвариантность: величина заряда не зависит от системы отсчёта и скорости частицы.

Тела электризуются трением, соприкосновением (контактом) и через влияние (индукцией). Для обнаружения зарядов используют электроскоп и электрометр. Вещества делятся на проводники (много свободных зарядов: металлы, электролиты) и диэлектрики (свободных зарядов почти нет: стекло, резина, воздух).

Закон Кулона

В 1785 году Ш. Кулон с помощью крутильных весов измерил силу взаимодействия двух заряженных шариков. Результат для точечных зарядов (заряженных тел, размеры которых очень малы по сравнению с расстоянием между ними) формулируется так.

Закон Кулона: сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей заряды.

$$F = k\frac{|q_1|\,|q_2|}{\varepsilon r^2},\qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99\cdot10^{9}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{Кл}^2}$$

Здесь $q_1, q_2$ — заряды (Кл), $r$ — расстояние между ними (м), $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}\ \text{Ф/м}$ — электрическая постоянная, $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды (для вакуума $\varepsilon = 1$, для воздуха $\approx 1$, керосин $\approx 2$, вода $\approx 81$). В диэлектрической среде сила уменьшается в $\varepsilon$ раз по сравнению с вакуумом.

В векторной форме сила, действующая со стороны заряда $q_1$ на заряд $q_2$:

$$\vec F_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\,\frac{q_1 q_2}{r^3}\,\vec r_{12},$$

где $\vec r_{12}$ — радиус-вектор, проведённый от $q_1$ к $q_2$. При $q_1q_2 > 0$ сила отталкивающая, при $q_1q_2 < 0$ — притягивающая. Кулоновские силы подчиняются третьему закону Ньютона: $\vec F_{21} = -\vec F_{12}$. Электрические силы несравнимо больше гравитационных: в атоме водорода кулоновская сила между протоном и электроном примерно в $2\cdot10^{39}$ раз больше силы их тяготения.

Электрическое поле и его напряжённость

Заряды действуют друг на друга не непосредственно, а через электрическое поле (идея близкодействия, Фарадей). Электрическое поле — особый вид материи, существующий вокруг любого заряда и действующий с силой на внесённый в него другой заряд. Поле неподвижных зарядов называется электростатическим.

Для исследования поля используют пробный заряд $q_0$ — малый положительный точечный заряд, не искажающий заметно поле. Основная силовая характеристика поля в данной точке:

Напряжённость электрического поля — векторная величина, равная отношению силы, действующей на положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля, к величине этого заряда: $\vec E = \dfrac{\vec F}{q_0}$.

Единица напряжённости — $\text{Н/Кл}$ (равна $\text{В/м}$). Если $\vec E$ известна, сила, действующая на любой заряд $q$, равна $\vec F = q\vec E$: на положительный заряд сила направлена вдоль $\vec E$, на отрицательный — противоположно. Из закона Кулона поле точечного заряда:

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|q|}{\varepsilon r^2}.$$

Вектор $\vec E$ поля положительного заряда направлен радиально от заряда, отрицательного — к заряду.

Принцип суперпозиции

Напряжённость поля, созданного несколькими зарядами, равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \dots + \vec E_n = \sum\limits_i \vec E_i$.

Для двух векторов модуль суммы находится по теореме косинусов: $E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1E_2\cos\alpha}$, где $\alpha$ — угол между векторами. Для непрерывно распределённого заряда сумма переходит в интеграл: $\vec E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int \frac{dq}{r^2}\,\frac{\vec r}{r}$, при этом используют линейную ($\tau = dq/dl$), поверхностную ($\sigma = dq/dS$) и объёмную ($\rho = dq/dV$) плотности заряда.

Электрический диполь — система двух равных по модулю и противоположных по знаку зарядов, находящихся на расстоянии $l$ друг от друга. Его основная характеристика — дипольный момент $\vec p = q\vec l$ (вектор направлен от отрицательного заряда к положительному). Многие молекулы (например, молекула воды) обладают дипольными свойствами.

Графическое изображение электрического поля

Фарадей предложил изображать поле с помощью силовых линий (линий напряжённости). Силовая линия — линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором $\vec E$ в этой точке.

• Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность/приходят из бесконечности); линии электростатического поля не замкнуты.
• Силовые линии никогда не пересекаются, так как в каждой точке $\vec E$ имеет единственное направление.
• Густота линий (число линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную им) пропорциональна модулю напряжённости: где линии гуще, там поле сильнее.
• Однородное поле (во всех точках $\vec E$ одинаков) изображается параллельными равноотстоящими линиями — например, между обкладками заряженного плоского конденсатора.

Поле точечного заряда изображается радиальными линиями, поле диполя — кривыми, выходящими из положительного заряда и входящими в отрицательный; между двумя одинаковыми зарядами линии «расталкиваются», и посередине образуется точка $E = 0$.

В интерактивной модели выберите конфигурацию зарядов (один заряд, диполь, два одинаковых заряда, плоские пластины), измените величину заряда и наблюдайте, как меняется картина силовых линий. Помещая пробный заряд в разные точки, убедитесь, что направление действующей на него силы касательно к силовой линии.

Пример

В воздухе положительные точечные заряды $q_1 = 2\ \text{нКл}$ и $q_2 = 8\ \text{нКл}$ находятся на расстоянии $r = 30\ \text{см}$ друг от друга. Найдите: а) силу взаимодействия; б) напряжённость в точке посередине между зарядами; в) точку, в которой напряжённость равна нулю.

Решение. а) $F = k\dfrac{q_1q_2}{r^2} = 9\cdot10^9\cdot\dfrac{2\cdot10^{-9}\cdot 8\cdot10^{-9}}{0{,}09} = 1{,}6\cdot10^{-6}\ \text{Н}$ (отталкивание).

б) Средняя точка удалена от каждого заряда на $0{,}15\ \text{м}$: $E_1 = 9\cdot10^9\cdot\dfrac{2\cdot10^{-9}}{0{,}0225} = 800\ \text{Н/Кл}$ (к $q_2$), $E_2 = 9\cdot10^9\cdot\dfrac{8\cdot10^{-9}}{0{,}0225} = 3200\ \text{Н/Кл}$ (к $q_1$). Векторы противоположны, результирующая $E = 3200 - 800 = 2400\ \text{Н/Кл}$, направлена к $q_1$.

в) Точка $E = 0$ лежит между зарядами ближе к меньшему. На расстоянии $x$ от $q_1$: $\dfrac{q_1}{x^2} = \dfrac{q_2}{(r-x)^2}\Rightarrow \dfrac{r-x}{x} = \sqrt{\dfrac{q_2}{q_1}} = 2\Rightarrow x = \dfrac{r}{3} = 10\ \text{см}$.

Применения

Закон Кулона и понятие поля применяются в электростатических фильтрах, ксерографии, электростатической окраске, ускорителях частиц и электронно-лучевых трубках для управления движением частиц, а также в химии для объяснения взаимодействия ионов и молекул. Молниезащита и защита электронных устройств от статического заряда также основаны на этих закономерностях.