Лекция

Что изучает механика?

Яблоко, сорвавшееся с ветки, планеты, обращающиеся вокруг Солнца, тормозящий автомобиль, раскачивающийся на ветру мост — всё это примеры одного общего явления: механического движения тел. Количественным описанием и предсказанием таких явлений занимается древнейший и основной раздел физики — механика.

Механика — наука о механическом движении тел в природе и взаимодействии между ними. Механическое движение — изменение положения тела (или его частей) в пространстве относительно других тел с течением времени.

Цель науки — объяснить механическую сторону природных явлений и применить найденные законы на практике: проектировать машины и сооружения, рассчитывать движение транспорта и ракет, предсказывать орбиты планет и искусственных спутников. Основная задача механики: зная начальное состояние тела и действующие на него силы, определить его состояние в любой последующий момент времени.

Разделы механики и границы её применимости

• Кинематика описывает движение без учёта его причин (сил): где находится тело, с какой скоростью и ускорением оно движется? Основные величины — координата, перемещение, скорость, ускорение.
• Динамика связывает движение с вызывающими его взаимодействиями: почему тело движется именно так? Её основа — законы Ньютона, например $\vec F = m\vec a$.
• Статика изучает условия равновесия тел под действием сил.

Существуют также механика жидкостей и газов, теория упругости, теория колебаний и волн. Классическая механика, созданная Ньютоном, даёт правильные результаты, если скорость тела много меньше скорости света ($v \ll c$, $c \approx 3\cdot 10^8\ \text{м/с}$), а размеры тела много больше размеров атома ($\sim 10^{-10}\ \text{м}$). При скоростях, близких к скорости света, применяют релятивистскую механику (Эйнштейн), а в микромире — квантовую механику. Классическая механика входит в эти теории как их предельный случай.

Физические модели

Реальное тело очень сложно: оно деформируется, вращается, нагревается. Поэтому в механике используют упрощённые модели:

• Материальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого можно пренебречь по сравнению с рассматриваемыми расстояниями. Землю на орбите вокруг Солнца ($R \approx 1{,}5\cdot 10^{11}\ \text{м}$) можно считать материальной точкой, а при изучении её суточного вращения — нельзя. Одно и то же тело в одной задаче может быть материальной точкой, а в другой — нет.
• Абсолютно твёрдое тело — тело, расстояние между любыми двумя точками которого не меняется (деформацией пренебрегают).
• Сплошная среда — тело, масса которого считается непрерывно распределённой по объёму (жидкость, газ, упругое тело).

Система отсчёта и относительность движения

Утверждение «тело движется» имеет смысл только относительно какого-либо другого тела. Для описания движения выбирают систему отсчёта.

Система отсчёта = тело отсчёта + связанная с ним система координат + прибор для измерения времени (часы).

Положение точки задаётся радиус-вектором $\vec r = x\vec i + y\vec j + z\vec k$, проведённым из начала координат. В разных системах отсчёта траектория, перемещение и скорость одного и того же движения различны — в этом состоит относительность движения. Например, яблоко, уроненное в вагоне движущегося поезда, относительно пассажира описывает вертикальную прямую, а относительно наблюдателя на земле — параболу. В классической механике промежуток времени, масса и расстояние между двумя точками в один и тот же момент одинаковы во всех системах отсчёта (абсолютны).

Преобразования Галилея и сложение скоростей

Пусть система $K'$ движется поступательно относительно системы $K$ с постоянной скоростью $\vec u$ (в начальный момент начала координат совпадают). Тогда

где $\vec r$ и $\vec r^{\prime}$ — радиус-векторы точки в $K$ и $K'$. Дифференцируя по времени, получаем правило сложения скоростей Галилея:

т.е. скорость тела относительно «неподвижной» системы ($\vec v$ — абсолютная скорость) равна векторной сумме его скорости относительно движущейся системы ($\vec v^{\prime}$ — относительная скорость) и скорости самой движущейся системы ($\vec u$ — переносная скорость). Если скорости направлены вдоль одной прямой, векторная сумма превращается в обычную алгебраическую.

Пример

Ширина реки $d = 120\ \text{м}$, скорость течения $u = 3\ \text{м/с}$. Лодка направлена перпендикулярно берегу и движется относительно воды со скоростью $v' = 4\ \text{м/с}$. За какое время она переправится, на сколько её снесёт течением и какова её скорость относительно берега?

Решение. Течение не влияет на движение перпендикулярно берегу: $t = d/v' = 120/4 = 30\ \text{с}$. За это время течение сносит лодку на $s = u\,t = 3\cdot 30 = 90\ \text{м}$. Скорость относительно берега: $v = \sqrt{v'^2 + u^2} = \sqrt{16+9} = 5\ \text{м/с}$; она отклонена от перпендикуляра к берегу на угол $\beta$, где $\operatorname{tg}\beta = u/v' = 0{,}75$, т.е. $\beta \approx 37^\circ$.

В интерактивной модели меняйте скорость лодки, скорость течения и угол направления: как меняется траектория в системах отсчёта «берег» и «вода»? Под каким углом нужно направить лодку, чтобы она попала точно в противоположную точку ($\sin\alpha = u/v'$)?