Лекция

Введение: что изучает молекулярная физика?

В стакане воды около $10^{25}$ молекул. Проследить движение каждой из них по законам Ньютона совершенно невозможно, однако температуру, давление, плотность воды можно измерить и предсказать. Молекулярная физика — раздел физики, изучающий макроскопические свойства вещества (давление, температуру, теплоёмкость, вязкость, поверхностное натяжение и т. д.) на основе движения и взаимодействия составляющих его частиц. Главный вопрос: как из хаотического движения огромного числа частиц возникают точные закономерности?

История атомистических представлений

Идею о том, что вещество состоит из неделимых частиц — атомов, выдвинули в V веке до н. э. Левкипп и Демокрит, развивали Эпикур и Лукреций. Долгое время она оставалась философской догадкой. Научный этап начался в XVII–XIX веках:

После опытов Перрена сомнений в реальном существовании атомов и молекул не осталось. В XX веке выяснилось, что и сам атом имеет сложное строение (Резерфорд, Бор), а его свойства может объяснить только квантовая механика.

Основные положения молекулярно-кинетической теории

1) Любое вещество состоит из частиц — атомов и молекул. 2) Эти частицы находятся в непрерывном хаотическом (тепловом) движении. 3) Частицы взаимодействуют друг с другом: притягиваются и отталкиваются.

Первое положение подтверждают непосредственное «наблюдение» атомов в электронных и туннельных микроскопах и законы химии. Второе — диффузия и броуновское движение. Третье — прочность твёрдых тел и жидкостей, их сопротивление сжатию, смачивание и поверхностное натяжение.

Количество вещества и постоянная Авогадро

Число частиц огромно, поэтому их удобно считать в молях. Количество вещества:

где $N$ — число молекул, $N_A = 6{,}022\cdot10^{23}\ \text{моль}^{-1}$ — постоянная Авогадро (число частиц в 1 моле), $m$ — масса вещества, $M$ — молярная масса ($\text{кг/моль}$). Масса одной молекулы и число молекул в веществе:

При нормальных условиях ($T_0 = 273{,}15\ \text{К}$, $p_0 = 101\,325\ \text{Па}$) 1 моль любого газа занимает объём $V_m = 22{,}4\ \text{л}$ (закон Авогадро), а число молекул в 1 м³ газа равно числу Лошмидта: $n_L = 2{,}69\cdot10^{25}\ \text{м}^{-3}$.

Размеры молекул и их взаимодействие

В жидкости или твёрдом теле молекулы упакованы плотно, поэтому объём, приходящийся на одну молекулу, $V_0 = M/(\rho N_A)$, а размер молекулы $d \approx \sqrt[3]{M/(\rho N_A)}$. Для воды $d \approx 3\cdot10^{-10}\ \text{м}$. В газе среднее расстояние между молекулами $\langle l\rangle \approx n^{-1/3}$ при нормальных условиях составляет $3{,}3\cdot10^{-9}\ \text{м}$ — примерно в 10 раз больше размера молекулы.

Межмолекулярное взаимодействие имеет электрическую природу. Зависимость потенциальной энергии от расстояния $W_p(r)$ имеет вид «потенциальной ямы»: при $r > r_0$ преобладает притяжение, при $r < r_0$ — сильное отталкивание, $r_0$ — равновесное расстояние (порядка $10^{-10}$ м). Часто используют потенциал Леннард-Джонса: $W_p = 4\varepsilon\left[(\sigma/r)^{12} - (\sigma/r)^{6}\right]$. Агрегатное состояние вещества определяется отношением средней кинетической энергии теплового движения $\sim kT$ к глубине ямы $\varepsilon$: $kT \ll \varepsilon$ — твёрдое тело, $kT \sim \varepsilon$ — жидкость, $kT \gg \varepsilon$ — газ.

Броуновское движение

По частице микронного размера в жидкости со всех сторон ударяют молекулы; число ударов случайно не уравновешивается, и частица хаотически смещается. Эйнштейн показал, что средний квадрат смещения частицы вдоль одной оси пропорционален времени:

где $D$ — коэффициент диффузии, $k = 1{,}38\cdot10^{-23}\ \text{Дж/К}$ — постоянная Больцмана, $\eta$ — вязкость жидкости, $r$ — радиус частицы. Перрен, измерив $\langle x^2\rangle$, определил $k$ и $N_A = R/k$. В интерактивной модели повысьте температуру: как меняется след крупной частицы? В модели «Временная ось» проследите последовательность перечисленных открытий.

Классические и квантовые модели строения вещества

В классической модели атомы и молекулы рассматриваются как материальные точки или твёрдые шарики, подчиняющиеся законам Ньютона; их энергия принимает непрерывные значения. Эта модель хорошо объясняет давление газов, теплоёмкость, явления переноса. В квантовой модели атом состоит из ядра и электронов, энергия электронов принимает дискретные значения, частицы обладают и волновыми свойствами (волна де Бройля). Классическое приближение справедливо, если тепловая длина волны де Бройля много меньше расстояния между частицами:

Например, при 300 К для молекулы азота $\lambda_T \approx 1{,}9\cdot10^{-11}\ \text{м}$, т. е. в 180 раз меньше расстояния — газ классический. Для электронов в металле $\lambda_T \approx 4{,}3\ \text{нм}$, а межатомное расстояние $\sim 0{,}25$ нм — электронный газ подчиняется квантовой статистике Ферми — Дирака. Квантовые эффекты объясняют уменьшение теплоёмкости при низких температурах, сверхтекучесть жидкого гелия и другие явления.

Пример

Сколько молекул в 1 г воды? Оцените массу и размер одной молекулы ($M = 0{,}018\ \text{кг/моль}$, $\rho = 1000\ \text{кг/м}^3$).

Решение. $N = \dfrac{m}{M}N_A = \dfrac{10^{-3}}{0{,}018}\cdot 6{,}022\cdot10^{23} \approx 3{,}35\cdot10^{22}$. $m_0 = M/N_A = 0{,}018/6{,}022\cdot10^{23} \approx 2{,}99\cdot10^{-26}\ \text{кг}$. $d \approx \sqrt[3]{M/(\rho N_A)} = \sqrt[3]{2{,}99\cdot10^{-29}\ \text{м}^3} \approx 3{,}1\cdot10^{-10}\ \text{м}$.