Ma’ruza

Kirish: elektr va magnetizm fanining vazifasi

Elektromagnit o‘zaro ta’sir tabiatdagi to‘rtta fundamental o‘zaro ta’sirdan biri bo‘lib, kundalik hayotimizda biz duch keladigan deyarli barcha kuchlar (elastiklik, ishqalanish, kimyoviy bog‘lanish, molekulalararo tortishish) aslida elektromagnit tabiatga ega. Atom yadrosi va elektronlarni bir-biriga bog‘lab turadigan kuch ham, chaqmoq, radioto‘lqin va yorug‘lik ham shu o‘zaro ta’sirning namoyon bo‘lishidir. Elektr va magnetizm fani elektr zaryadlari, ular hosil qiladigan elektr va magnit maydonlari, elektr toki hamda bu maydonlarning moddalar bilan o‘zaro ta’sirini o‘rganadi.

Fanning manbalari — tajriba va nazariya. Qadimgi yunonlar ishqalangan qahrabo (yunoncha elektron) yengil jismlarni tortishini bilishgan. XVIII asrda Sh. Kulon zaryadlar o‘zaro ta’siri qonunini aniqladi, XIX asrda M. Faradey maydon tushunchasini kiritdi, J. Maksvell esa barcha elektromagnit hodisalarni yagona tenglamalar sistemasiga birlashtirdi. Bugungi elektrotexnika, elektronika, aloqa va energetika shu poydevorga qurilgan. Kurs elektrostatikadan — tinch turgan zaryadlar va ularning maydonidan boshlanadi.

Elektr zaryadi va uning xossalari

Elektr zaryadi $q$ — zarralar va jismlarning elektromagnit o‘zaro ta’sirga kirishish qobiliyatini tavsiflovchi skalyar fizik kattalik. SI dagi birligi — kulon (C): 1 A tok kuchida o‘tkazgich kesimidan 1 s da o‘tadigan zaryad, $1\ \text{C} = 1\ \text{A}\cdot\text{s}$.

• Ikki xil zaryad mavjud: musbat va manfiy. Bir ismli zaryadlar itarishadi, har xil ismlilar tortishadi. Elektron manfiy, proton musbat zaryadga ega.
• Diskretlik (kvantlanish): har qanday jismning zaryadi elementar zaryadga karrali: $q = \pm Ne$, bu yerda $e = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}$, $N$ — butun son. Buni R. Milliken moy tomchilari tajribasida isbotlagan.
• Saqlanish qonuni: elektr jihatdan berk (izolyatsiyalangan) sistemadagi zaryadlarning algebraik yig‘indisi o‘zgarmaydi: $\sum q_i = \text{const}$. Elektrlanishda zaryad yo‘qdan paydo bo‘lmaydi, faqat jismlar o‘rtasida qayta taqsimlanadi.
• Relyativistik invariantlik: zaryad kattaligi sanoq sistemasiga va zarra tezligiga bog‘liq emas.

Jismlar ishqalanish, tegizish (kontakt) va induksiya (ta’sir orqali) yo‘li bilan elektrlanadi. Zaryadlarni sezish uchun elektroskop va elektrometr ishlatiladi. Moddalar o‘tkazgichlar (erkin zaryadlar ko‘p: metallar, elektrolitlar) va dielektriklarga (erkin zaryadlar deyarli yo‘q: shisha, kauchuk, havo) bo‘linadi.

Kulon qonuni

1785-yilda Sh. Kulon buralma tarozi yordamida ikki zaryadlangan sharcha orasidagi kuchni o‘lchadi. Natija nuqtaviy zaryadlar (o‘lchamlari ular orasidagi masofaga nisbatan juda kichik bo‘lgan zaryadlangan jismlar) uchun quyidagicha ifodalanadi.

Kulon qonuni: vakuumda ikki qo‘zg‘almas nuqtaviy zaryadning o‘zaro ta’sir kuchi zaryadlar modullarining ko‘paytmasiga to‘g‘ri proporsional, ular orasidagi masofa kvadratiga teskari proporsional bo‘lib, zaryadlarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yo‘nalgan.

$$F = k\frac{|q_1|\,|q_2|}{\varepsilon r^2},\qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99\cdot10^{9}\ \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2}$$

Bu yerda $q_1, q_2$ — zaryadlar (C), $r$ — ular orasidagi masofa (m), $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}\ \text{F/m}$ — elektr doimiysi, $\varepsilon$ — muhitning dielektrik singdiruvchanligi (vakuum uchun $\varepsilon = 1$, havo uchun $\approx 1$, kerosin $\approx 2$, suv $\approx 81$). Dielektrik muhitda kuch vakuumdagiga nisbatan $\varepsilon$ marta kamayadi.

Vektor ko‘rinishda $q_1$ zaryadning $q_2$ ga ta’sir kuchi:

$$\vec F_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\,\frac{q_1 q_2}{r^3}\,\vec r_{12},$$

bu yerda $\vec r_{12}$ — $q_1$ dan $q_2$ ga o‘tkazilgan radius-vektor. $q_1q_2 > 0$ bo‘lsa kuch itarish, $q_1q_2 < 0$ bo‘lsa tortishish kuchi bo‘ladi. Kulon kuchlari Nyutonning uchinchi qonuniga bo‘ysunadi: $\vec F_{21} = -\vec F_{12}$. Elektr kuchlar gravitatsion kuchlardan beqiyos katta: vodorod atomida proton va elektron orasidagi Kulon kuchi ularning tortishish kuchidan taxminan $2\cdot10^{39}$ marta katta.

Elektr maydoni va uning kuchlanganligi

Zaryadlar bir-biriga bevosita emas, balki elektr maydoni orqali ta’sir qiladi (yaqindan ta’sir g‘oyasi, Faradey). Elektr maydoni — materiyaning alohida turi bo‘lib, har qanday zaryad atrofida mavjud va unga kiritilgan boshqa zaryadga kuch bilan ta’sir qiladi. Tinch turgan zaryadlar maydoni elektrostatik maydon deyiladi.

Maydonni o‘rganish uchun sinov zaryadi $q_0$ — maydonni sezilarli buzmaydigan kichik musbat nuqtaviy zaryad ishlatiladi. Maydonning berilgan nuqtadagi asosiy kuch xarakteristikasi:

Elektr maydon kuchlanganligi — maydonning shu nuqtasiga joylashtirilgan musbat sinov zaryadiga ta’sir etuvchi kuchning shu zaryad kattaligiga nisbatiga teng vektor kattalik: $\vec E = \dfrac{\vec F}{q_0}$.

Kuchlanganlik birligi — $\text{N/C}$ (bu $\text{V/m}$ ga teng). Agar $\vec E$ ma’lum bo‘lsa, istalgan $q$ zaryadga ta’sir etuvchi kuch $\vec F = q\vec E$: musbat zaryadga kuch $\vec E$ bo‘ylab, manfiyga — teskari yo‘nalgan. Kulon qonunidan nuqtaviy zaryad maydoni:

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|q|}{\varepsilon r^2}.$$

Musbat zaryad maydonining $\vec E$ vektori zaryaddan radial ravishda tashqariga, manfiy zaryadniki — zaryad tomon yo‘nalgan.

Superpozitsiya prinsipi

Bir nechta zaryad hosil qilgan maydonning kuchlanganligi har bir zaryad alohida hosil qiladigan maydon kuchlanganliklarining vektor yig‘indisiga teng: $\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \dots + \vec E_n = \sum\limits_i \vec E_i$.

Ikki vektor uchun yig‘indining moduli kosinuslar teoremasi bilan topiladi: $E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1E_2\cos\alpha}$, bu yerda $\alpha$ — vektorlar orasidagi burchak. Uzluksiz taqsimlangan zaryad uchun yig‘indi integralga aylanadi: $\vec E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int \frac{dq}{r^2}\,\frac{\vec r}{r}$, bunda zaryadning chiziqli ($\tau = dq/dl$), sirt ($\sigma = dq/dS$) va hajmiy ($\rho = dq/dV$) zichliklari qo‘llaniladi.

Elektr dipol — kattaligi teng, ishorasi qarama-qarshi, bir-biridan $l$ masofadagi ikki zaryad sistemasi. Uning asosiy xarakteristikasi — dipol momenti $\vec p = q\vec l$ (vektor manfiy zaryaddan musbatga yo‘nalgan). Molekulalarning ko‘pchiligi (masalan, suv molekulasi) dipol xossasiga ega.

Elektr maydonini grafik tasvirlash

Faradey maydonni kuch chiziqlari (kuchlanganlik chiziqlari) yordamida tasvirlashni taklif qilgan. Kuch chizig‘i — har bir nuqtasidagi urinma shu nuqtadagi $\vec E$ vektori bilan ustma-ust tushadigan chiziq.

• Kuch chiziqlari musbat zaryaddan boshlanib, manfiy zaryadda tugaydi (yoki cheksizlikka ketadi/cheksizlikdan keladi); elektrostatik maydon chiziqlari berk emas.
• Kuch chiziqlari hech qachon kesishmaydi, chunki har bir nuqtada $\vec E$ yagona yo‘nalishga ega.
• Chiziqlar zichligi (ularga perpendikulyar birlik yuzadan o‘tuvchi chiziqlar soni) kuchlanganlik moduliga proporsional: chiziqlar qalin joyda maydon kuchli.
• Bir jinsli maydon (barcha nuqtalarda $\vec E$ bir xil) parallel, teng oraliqli chiziqlar bilan tasvirlanadi — masalan, zaryadlangan yassi kondensator qoplamalari orasida.

Nuqtaviy zaryad maydoni radial chiziqlar bilan, dipol maydoni esa musbat zaryaddan chiqib manfiyga kiruvchi egri chiziqlar bilan tasvirlanadi; ikki bir xil zaryad orasida chiziqlar bir-biridan «qochadi» va o‘rtada $E = 0$ nuqta hosil bo‘ladi.

Interaktiv modelda zaryadlar konfiguratsiyasini (bitta zaryad, dipol, ikki bir xil zaryad, yassi plastinkalar) tanlab, zaryad kattaligini o‘zgartiring va kuch chiziqlari manzarasi qanday o‘zgarishini kuzating. Sinov zaryadini turli nuqtalarga qo‘yib, unga ta’sir etuvchi kuch yo‘nalishi kuch chizig‘iga urinma ekanini tekshiring.

Misol

Havoda $q_1 = 2\ \text{nC}$ va $q_2 = 8\ \text{nC}$ musbat nuqtaviy zaryadlar bir-biridan $r = 30\ \text{cm}$ masofada joylashgan. a) O‘zaro ta’sir kuchini; b) zaryadlar o‘rtasidagi nuqtada kuchlanganlikni; c) kuchlanganlik nolga teng bo‘lgan nuqtani toping.

Yechish. a) $F = k\dfrac{q_1q_2}{r^2} = 9\cdot10^9\cdot\dfrac{2\cdot10^{-9}\cdot 8\cdot10^{-9}}{0{,}09} = 1{,}6\cdot10^{-6}\ \text{N}$ (itarish).

b) O‘rtadagi nuqta har bir zaryaddan $0{,}15\ \text{m}$ uzoqlikda: $E_1 = 9\cdot10^9\cdot\dfrac{2\cdot10^{-9}}{0{,}0225} = 800\ \text{N/C}$ ($q_2$ tomon), $E_2 = 9\cdot10^9\cdot\dfrac{8\cdot10^{-9}}{0{,}0225} = 3200\ \text{N/C}$ ($q_1$ tomon). Vektorlar qarama-qarshi, natijaviy $E = 3200 - 800 = 2400\ \text{N/C}$, $q_1$ tomon yo‘nalgan.

c) $E = 0$ nuqta zaryadlar orasida, kichik zaryadga yaqinroq bo‘ladi. $q_1$ dan $x$ masofada: $\dfrac{q_1}{x^2} = \dfrac{q_2}{(r-x)^2}\Rightarrow \dfrac{r-x}{x} = \sqrt{\dfrac{q_2}{q_1}} = 2\Rightarrow x = \dfrac{r}{3} = 10\ \text{cm}$.

Qo‘llanilishi

Kulon qonuni va maydon tushunchasi elektrostatik filtrlar, kserografiya, elektrostatik bo‘yash, zarralar tezlatgichlari va elektron-nur trubkalarida zarralar harakatini boshqarish, shuningdek kimyoda ionlar va molekulalar o‘zaro ta’sirini tushuntirishda qo‘llaniladi. Chaqmoqdan himoyalash va elektronika qurilmalarini statik zaryaddan himoyalash ham shu qonuniyatlarga asoslanadi.