Ma’ruza

Mexanika nimani o‘rganadi?

Daraxtdan uzilgan olma, Quyosh atrofida aylanayotgan sayyoralar, yo‘lda tormoz berayotgan avtomobil, shamolda tebranayotgan ko‘prik — bularning barchasi bitta umumiy hodisaga misol: jismlarning mexanik harakatiga. Bu hodisalarni miqdoriy tavsiflash va oldindan aytib berish bilan fizikaning eng qadimgi va eng asosiy bo‘limi — mexanika shug‘ullanadi.

Mexanika — tabiatdagi jismlarning mexanik harakati va ular orasidagi o‘zaro ta’sirni o‘rganuvchi fan. Mexanik harakat — jismning (yoki uning qismlarining) boshqa jismlarga nisbatan fazodagi vaziyatining vaqt o‘tishi bilan o‘zgarishi.

Fanning maqsadi — tabiat hodisalarining mexanik tomonlarini tushuntirish va olingan qonunlarni amaliyotda qo‘llash: mashina va inshootlarni loyihalash, transport vositalari va raketalar harakatini hisoblash, sayyoralar va sun’iy yo‘ldoshlar orbitalarini oldindan aytish. Mexanikaning asosiy masalasi: jismning boshlang‘ich holati va unga ta’sir etuvchi kuchlar ma’lum bo‘lsa, istalgan keyingi paytdagi holatini aniqlash.

Mexanikaning bo‘limlari va qo‘llanish chegaralari

• Kinematika harakatni uning sabablarini (kuchlarni) hisobga olmasdan tavsiflaydi: jism qayerda, qanday tezlik va tezlanish bilan harakatlanadi? Asosiy kattaliklar — koordinata, ko‘chish, tezlik, tezlanish.
• Dinamika harakatni uni yuzaga keltiruvchi o‘zaro ta’sirlar bilan bog‘laydi: jism nima uchun aynan shunday harakatlanadi? Asosi — Nyuton qonunlari, masalan $\vec F = m\vec a$.
• Statika jismlarning kuchlar ta’sirida muvozanatda bo‘lish shartlarini o‘rganadi.

Yana suyuqlik va gazlar mexanikasi, elastiklik nazariyasi, tebranishlar va to‘lqinlar kabi bo‘limlar mavjud. Nyuton yaratgan klassik mexanika jism tezligi yorug‘lik tezligidan ancha kichik ($v \ll c$, $c \approx 3\cdot 10^8\ \text{m/s}$) va jism o‘lchamlari atom o‘lchamlaridan ($\sim 10^{-10}\ \text{m}$) ancha katta bo‘lganda to‘g‘ri natija beradi. Yorug‘lik tezligiga yaqin tezliklarda relyativistik mexanika (Eynshteyn), mikrodunyoda esa kvant mexanikasi qo‘llaniladi. Klassik mexanika bu nazariyalarning chegaraviy holi sifatida ularning ichiga kiradi.

Fizik modellar

Real jism juda murakkab: u deformatsiyalanadi, aylanadi, qiziydi. Shu sababli mexanikada soddalashtirilgan modellar ishlatiladi:

• Moddiy nuqta — o‘lchamlari ko‘rilayotgan masofalarga nisbatan e’tiborga olinmaydigan, massaga ega jism. Yer Quyosh atrofidagi orbitada ($R \approx 1{,}5\cdot 10^{11}\ \text{m}$) moddiy nuqta deb qaralishi mumkin, lekin Yerning sutkalik aylanishini o‘rganishda — yo‘q. Bir jism bir masalada moddiy nuqta, boshqasida esa yo‘q bo‘lishi mumkin.
• Absolyut qattiq jism — har qanday ikki nuqtasi orasidagi masofa o‘zgarmaydigan jism (deformatsiya e’tiborga olinmaydi).
• Tutash muhit — massasi hajm bo‘yicha uzluksiz taqsimlangan deb qaraladigan jism (suyuqlik, gaz, elastik jism).

Sanoq sistemasi va harakatning nisbiyligi

«Jism harakatlanyapti» degan gap faqat biror boshqa jismga nisbatan ma’noga ega. Harakatni tavsiflash uchun sanoq sistemasi tanlanadi.

Sanoq sistemasi = sanoq jismi + u bilan bog‘langan koordinatalar sistemasi + vaqtni o‘lchovchi asbob (soat).

Nuqtaning vaziyati koordinatalar boshidan unga o‘tkazilgan radius-vektor $\vec r = x\vec i + y\vec j + z\vec k$ bilan beriladi. Turli sanoq sistemalarida bitta harakatning trayektoriyasi, ko‘chishi va tezligi turlicha bo‘ladi — bu harakatning nisbiyligi. Masalan, harakatlanayotgan poyezd vagonida tushirib yuborilgan olma yo‘lovchiga nisbatan vertikal to‘g‘ri chiziq, yerdagi kuzatuvchiga nisbatan esa parabola chizadi. Klassik mexanikada vaqt oralig‘i, massa va bir paytdagi ikki nuqta orasidagi masofa barcha sanoq sistemalarida bir xil (absolyut).

Galiley almashtirishlari va tezliklarni qo‘shish

$K'$ sistema $K$ sistemaga nisbatan o‘zgarmas $\vec u$ tezlik bilan ilgarilanma harakatlansin (boshlang‘ich paytda koordinata boshlari ustma-ust tushadi). U holda

bu yerda $\vec r$ va $\vec r^{\prime}$ — nuqtaning $K$ va $K'$ dagi radius-vektorlari. Vaqt bo‘yicha hosila olsak, Galileyning tezliklarni qo‘shish qoidasi kelib chiqadi:

ya’ni jismning «qo‘zg‘almas» sistemaga nisbatan tezligi ($\vec v$ — absolyut tezlik) uning harakatlanuvchi sistemaga nisbatan tezligi ($\vec v^{\prime}$ — nisbiy tezlik) va harakatlanuvchi sistemaning o‘z tezligi ($\vec u$ — ko‘chirma tezlik) ning vektor yig‘indisiga teng. Tezliklar bir chiziq bo‘ylab yo‘nalganda vektor yig‘indi oddiy algebraik yig‘indiga aylanadi.

Misol

Kengligi $d = 120\ \text{m}$ bo‘lgan daryoda oqim tezligi $u = 3\ \text{m/s}$. Qayiq suvga nisbatan $v' = 4\ \text{m/s}$ tezlik bilan qirg‘oqqa perpendikulyar yo‘naltirilgan. Qayiq qancha vaqtda o‘tadi, oqim uni qancha pastga olib ketadi va qirg‘oqqa nisbatan tezligi qanday?

Yechish. Qirg‘oqqa perpendikulyar harakatga oqim ta’sir qilmaydi: $t = d/v' = 120/4 = 30\ \text{s}$. Shu vaqtda oqim qayiqni $s = u\,t = 3\cdot 30 = 90\ \text{m}$ pastga suradi. Qirg‘oqqa nisbatan tezlik: $v = \sqrt{v'^2 + u^2} = \sqrt{16+9} = 5\ \text{m/s}$; u qirg‘oqqa perpendikulyar yo‘nalishdan $\operatorname{tg}\beta = u/v' = 0{,}75$, ya’ni $\beta \approx 37^\circ$ burchakka og‘adi.

Interaktiv modelda qayiq tezligi, oqim tezligi va yo‘nalish burchagini o‘zgartirib ko‘ring: qirg‘oq va suv sanoq sistemalarida trayektoriya qanday o‘zgaradi? Qayiq aynan qarshi nuqtaga borishi uchun uni qaysi burchak ostida yo‘naltirish kerak ($\sin\alpha = u/v'$)?